《因数与倍数整理复习》教学案例与评析

【教学内容】

北师大版五年级上册第三单元“因数和倍数的整理与复习”。

【设计理念】

复习课重在引导学生回忆学过的知识，并将所学知识串成线、连成片、织成网，构建良好的知识体系，培养学生良好的思维品质和学习能力。因此，要把复习的自主权交给学生，使学生学会复习的方法。加强数学与生活的联系，让学生体会数学的价值。创设和谐融洽的教学氛围，激发学生的创造潜能。

【学情分析】

学生在学习“因数与倍数”时，已在大脑皮层留下了知识之间联系的痕迹，由于这部分内容知识点多，经过一段时间，学生会逐渐模糊。因此，通过整理和复习，唤起学生对旧知的记忆，提高学生灵活运用知识的能力，使原来分散的知识得以梳理，帮助学生完善头脑中的数学认识结构，形成知识体系，增进持久记忆。

随着学生学龄增长和学习经验的不断积累，对学生自主学习能力的要求将不断提高，自主学习能力也是学生后继学习中重要的一种能力。因此，培养学生自主整理与复习知识的能力，将为学生的发展提供服务。

【教材分析】

本单元的主要学习内容包括：因数和倍数，2、5和3的倍数的特征，质数和合数。这些内容是在学生已经学了一定的整数知识（包括整数的认识、整数的四则运算及其应用）的基础上，进一步认识整数的性质。本单元所涉及的因数、倍数、质数、合数等概念以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数等内容，都是初等数论的基础知识。

本单元的知识作为数论知识的起步，一直是小学数学教材中的重要内容。一方面，学习分数，特别是学习约分、通分，需要以因数、倍数的概念为基础，进一步掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的概念，需要用到质数、合数的概念，需要掌握2、5和3的倍数的特征。因此，本单元的知识是学习数学不可或缺的基础。另一方面，这部分内容的学习，不仅能丰富学生有关整数的知识，加深对整数与整数除法的认识，同时由于这些知识比较抽象，且概念间的联系非常紧密，所以也有助于发展学生的数学思维。

【教学目标】

1.通过复习，使学生进一步巩固倍数、因数、质数、合数、奇数、偶数等概念及其相互间的关系，掌握2、3、5倍数的数的特征，并能灵活运用有关知识解决相关的问题。

2.通过合作学习，让学生感受合作交流的必要性，经历有关概念整理的过程，建立知识结构，进一步完善结构图，从而培养学生复习整理的能力。

3.通过亲身参与和实践活动，让学生获得成功的体验，培养学生严谨的学习态度。

【教学重点】

能综合运用所学的知识解决实际问题。

【教学难点】

理解概念之间的联系和区别。

【教学准备】

电脑课件、卡片等。

【教学过程】

一、谈话揭题

师：我们班有50个同学，50是我们第二单元《因数与倍数》中学过的一个合数。

（贴“合数”）你还能用《因数与倍数》的相关知识说一句话吗？

二、自主梳理、整体构建

1、梳理：知识梳理。

生：50是一个偶数，它能被2整除。50除以2等于25。

师：（贴“偶数”、“能被 2整除的数”）这个算式你能想到什么？

生：50是2的倍数，2是50的因数。

师：（贴“因数”、“倍数”）看到偶数，你还能想到什么？

生：我想到了奇数，奇数不能被2整除。

师：（贴“奇数”）奇数和偶数统称为——自然数（齐答）（贴“自然数”）

看到“能被2整除的数”这一知识，你还能想到什么？

生：我能想到“能被5整除的数”（贴“能被5整除的数”），个位数是0和5的数都能被5整除，所以50能被5整除。但是它不能被3整除，一个数各个位上的数的和是3的倍数，这个数才是3的倍数，因为5+0=5，不能被3整除，所以50不能被3整除。

（贴“能被3整除的数”、“2、3、5的倍数”）

师：你还能想到什么知识？

生：50能被2和5整除，那么它的因数就不仅仅是1和它本身，它就是一个合数。（贴“合数”）一个数只有1和它本身两个因数，那么它就是个质数。

（贴“质数”、“质数与合数”）

2、分析：整体构建。

师：回忆我们学习这些知识的过程，你能根据这个单元中知识间内在联系再整理得更清晰吗？（贴“因数与倍数”）

生上台整理

师：今天我们来学习“因数与倍数整理复习”。

（贴“因数与倍数整理复习”）

3、提炼：完善知识框架图

三、讨论交流

1、讨论：小组合作

师：课前同学们把这个单元的内容从知识点、例子、提醒几方面做了整理，请你们在小组里交流一下。

知识点	我的例子	我的提醒
因数 倍数
2、5的倍数特征 3的倍数特征 奇数与偶数
质数 合数

2、汇报：上台展示

（1）因数与倍数

生1：我来给大家汇报第一个知识点：“因数与倍数”的概念。我的例子是：18÷3＝6，18是3的倍数，3是18的因数，我的提醒是因数与倍数是互相依存的，不能说18是倍数，3是因数。谁还想补充？

生2：我的例子是：判断2.4÷3＝0.8，2.4是3的倍数，错，因为在研究因数和倍数的时候，所说的数指的是自然数，一般不包括0。

生1：对，这个知识点很重要，感谢你提醒我，谁还能补充？

生3：我想给你提个问题，7的因数有几个，7的倍数有几个？

生1：7的因数只有1和7这两个，7的倍数有7、14等等。因为一个数的因数个数是有限的，倍数的个数是无限的。

师：答对了。我们请学号是7的因数的同学站起来，只有他们两个人呀。

学号是7的倍数的同学站起来。这么多？还会有更多的人吗？

生七嘴八舌答：会，因为7的倍数是无限的；我们班只有50个人；总人数越多，7的倍数就会越多。

师：大家真会动脑筋，还会举一反三呢，我为大家点赞！还有谁想上来展示？

（2）能被2、3、5整除的数

生1：我给大家汇报的是第二个知识点：能被2、3、5整除的数、奇数和偶数。我的例子是：下面哪些数是2的倍数？23、46、50、17、89。这里46和50是2的倍数，因为是2的倍数的数叫做偶数，0也是偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。我还知道5的倍数有5、10、15、20、25、30等等，有无数个，个位是0或5的数都是5的倍数。谁能补充？

生2：我知道既是2的倍数又是5的倍数的数一定也是10的倍数，比如10、20、30、40、50等等。

生1：是的，你补充的内容虽然课本上没有，但是我们一样可以探究出来。还有谁能补充？

生3：我来补充3的倍数特征，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，比如：123、321、132、231等等都是3的倍数。我还知道如果一个数是9的倍数，那么这个数一定也是3的倍数。

生4：我还知道能同时被2、3、5整除的数中最小两位数是20，最大两位数是90，最小三位数是120，最大三位数是990。

师：你们补充得都很好，谁还有不同类型的题目？

生5：我给大家举一个例子：在□里填一个数字，使每个数都是2的倍数，谁来回答这一题？（个位是□）

生6：□里可以填0、2、4、6、8

生5：如果要使它是5的倍数怎么办？

生7：□里只能填0或者5

生5：这个□里填什么数就是3的倍数呢？（首位是□、中间是□）

生8：□里可以填……各个位上的数加起来能被3整除，这个数就是3的倍数。

师：你们反应可真快呀，感谢大家齐心协力快速完成了这么一道变式练习，谁还想上台来展示关于“奇数和偶数”的相关知识？

生9：我知道像2、4、6、8、10这样的数都是偶数，能被2整除，0也是偶数。我还知道：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数……

师：你们知道的可真多呀，下面我要请一个人来总结一下“质数与合数”的知识点了。

（3）质数与合数

生1：一个数只有1和它本身两个因数的，那它就是质数，也叫素数。除了1和它本身还有别的因数的，那它就是合数，比如2是最小的质数，3、5、7、11都是质数，4是最小的合数，8、9、10等等都是合数。谁来补充？

生2：我想提醒你1既不是质数，也不是合数。

生3：我补充一下，质数不一定都是奇数，合数不一定都是偶数，20以内既是奇数又是合数的有9和15。两个连续的质数是2和3，连续的合数就比较多了，有8、9、10，还有14、15、16等等。

师：他说得对，你也举一组连续偶数的例子吧。

生1：比如20、21、22，或者49、50、51、52。

师：非常棒，大家的思路已经开阔了。

生4：100以内最大的质数是97，最大的合数是99。连续的合数有90、91、92、93、94、95、96。

师：你知道的可真多啊。

生5：我还知道100以内的数中很多数具有多种特征，比如9吧，它是奇数，是合数，它能被3整除，它的因数有1、3、9，倍数有9、18等等。

师：你也想补充吧。

生6：我想用90来举例，90是个偶数，是合数，它是能同时被2、3、5整除的最大两位数。它跟后面的91、92、93、94、95、96一起组成了连续的合数。

3、活动

师：每个同学都有一个学号，你的学号中也藏着这些知识哦，想一想和我一起做个小游戏？

生齐答：想。

师：请学号是奇数的同学拍拍手，是偶数的同学拍拍手。嗯，人数一样多啊。

请学号是2的倍数的站起来，学号是3的倍数的人站起来，学号是5的倍数的人站起来。咦？怎么站起来的人越来越少呢？

生：因为2的倍数是每两个人就有一个人站起来，3的倍数是任意三个人中有一个人站起来，依此类推，当然学号是5的倍数的人就少一些了。

师：大家真善于归纳总结呀，看看“质数”与“合数”有没有这个规律。

请学号是质数的站起来，请学号是合数的站起来。

师：这一回由谁来解释一下为什么合数比质数多？

生：因为除2以外的所有偶数都是合数，可偏偏又有那么多奇数也是合数，当然合数就比质数多啊。

生：你真善于思考，我为你点个赞！

四、指导提高

1、基础

师：其实大家所说的所有知识都是自然数的特征，大家能把这些自然数请到我们的课堂中来吗？你来对它说一句话，再贴在黑板上。

（出示数字卡片1、2、3、4、5、6、7、8、9）

生：它是一个偶数……

师：你们是按照从小到大的顺序排成了一列连续的自然数，还有其它方法吗？

指名上台摆连续奇数、连续偶数。

师：连续自然数有什么特征？

生：每相邻两个数相差1。

师：连续偶数和连续奇数有什么特征？

生：每相邻两个数相差2。

2、提高

师：我任意拿一个两位数，能说出它的所有特征，比如12，它是偶数、是合数，它的因数有1、2、3、4、6、12，它的倍数有12、24、36等等，它能同时被2、3整除。与它相邻的两个数都是质数。你能像我这样举例吗？

生：……

师：同时能被2、3、5整除的数是谁？

生：30

师：好，我们把0请到课堂中来。（出示数字卡片0）

谁还能像这样举例？把你想到的数写在草稿纸上，并说给同桌听吧。

同桌合作。

3、拓展

师：既然大家懂得的知识这么多，那我们来探究一下这样的题吧。

三个连续自然数，中间一个是a，另外两个分别是（    ），它们的和是（    ）；

生：……

三个连续偶数，中间一个是a，另外两个分别是（    ），它们的和是（    ）；三个连续奇数，中间一个是a，另外两个分别是（    ），它们的和是（    ）。

师：你发现了什么？

生：连续自然数的相邻数相差1，连续偶数和连续奇数的相邻数相差2，但是它们的和都是3a，

师：三个连续自然数的和是36，这三个数分别是多少？

生：先用36÷3=12，得到中间的数是12，另外两个数就是11和13。

师：这里的“连续自然数”还可以变成什么？

生1：连续偶数。

生2：连续奇数。

师：好，大家讨论下这两题。

三个连续偶数的和是36，这三个数分别是多少？

三个连续奇数的和是39，这三个数分别是多少？

生3：36 ÷ 3 = 12   10、12、14

生4：39 ÷ 3 = 13   11、13、15

师：你发现了什么？

生：三个数的和除以个数得到的答案就是中间的那个数。

师：大家真是太聪明了，我来考考你们好不好？

这是老师的QQ号码：6302□□□□

这个数既不是质数，也不是合数。

生齐答：1

师：反应真够快的呀。下一个，它是奇数……咦，怎么不抢答了呢？

生：奇数太多了，奇数的范围太广了。

师：好，接着听题，它是质数，它有因数7。

生齐答：7

师：答对了，下一个，它是偶数，它有3个因数，它是最小的合数。

生齐答：4

师：非常棒，最后一个，它是奇数，它有3个因数，它的倍数有18，它是10以内最大的合数。

生齐答：9

五、全课小结：

通过今天的学习，你有什么收获？

六、当堂检测：

• 细心辨一辨。
• 专心填一填
• 耐心选一选
• 用心想一想

师：你觉得哪一题需要讲解？

师：请学号是5的倍数的先走，再请学号是质数的离开，学号能被2整除的同学可以走了，剩下同学的学号有什么特征呢？

【评析】

数学概念很抽象，而小学生对事物的认识，是从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级，逐步上升、逐步发展的。《因数与倍数的整理复习》这节课是对概念类知识的一次小结，它不仅要求掌握“因数”、“倍数”的区别与联系，而且为后续学习“最大公因数”、“最小公倍数”、“约分”、“通分”等知识打下基础，因此，这节复习课就显得尤为重要。复习课是课堂教学的一种重要课型，对学生知识点的落实、培养和提高学生运用知识、解决问题的能力起着举足轻重的作用。

1、注重知识点的系统性

这节课在设计时遵循“先学后教”、“师生互动”、“融会贯通”的原则，先由学生独立整理知识点，再根据其他同学的补充进行完善，最后由老师适时点拨和指正。把琐碎的知识形成一条系统的知识链，使原来分散的知识得以梳理，由数学的知识点串成知识线，由知识线构成知识网络图，从而帮助学生完善头脑中的数学认识结构，形成知识体系，练习题型设计新颖，有一定趣味性，使学生不再感到数学复习课的单调与枯燥。

2、注重学习方法的指导

复习是对所学知识的总结和提炼，重在引导学生回忆学过的知识，学会整理的方法，梳理成知识网络图，构建良好的知识体系。在复习因数和倍数时，这节课充分发挥学生学习主动性，请学生来交流对因数和倍数的认识，以及找一个数的因数的好办法、判断一个数是否是2的倍数（或3、5的倍数）的好办法，质数与合数怎样区分等等。充分利用课堂时间，在建构知识网络结构的过程中，以学生为主体，让学生展开组内交流和全班交流，老师适时给予点拨，引导学生多表达自己的思考，自己的想法，把有内在联系的知识点“串”在一起，形成良好的知识网络，让学生在原有的基础上都有所收获，形成愉悦的学习氛围。

3、注重培养学生思维的灵活性

在教学“数字卡片”这一环节中，老师用“12”这个数给同学们示范，使学生能感受到任何一个自然数都可以具有多种特征。接着每个学生自由说出一个你心目中的自然数时，可以发现每个自数都可以用“因数与倍数”相关知识进行描述，从而使学生的思维得到开放和提高。同学们可以选择任意一个一位数、两位数、三位数进行描述，渐渐地，他们也会发现选择“合数”能描述的内容更多，最后还发现某些特定的数更合适，例如：30、90、120等等，更进一步明确了“因数”、“倍数”、“奇数”、“偶数”、“质数”、“合数”等概念之间的联系与区别。

4、注重提高学生综合应用知识的能力

数学知识来源于生活，又应用于生活。在这节数学课堂中，教学设计“讲解与练习相结合”、“知识与应用相结合”，唤起学生主动学习的欲望和兴趣。开课时由“50个同学上课”引入，切合学生实际，“50是我们学过的一个自然数，你还能用《因数与倍数》这个单元的知识对它说一句话吗？”这个问题就是将整单元的知识由一个数引入，达到应用所学知识的目的。设计“学号是偶数的拍拍手”、“学号中的数能被5整除的站起来”等等环节能使学生产生共鸣，主动将数学知识应用到实际生活中去。在“小结”之前，还设计了“猜QQ号码”这一内容。老师分别给定一个条件、两个条件、三个条件、四个条件才能猜出QQ号中后面的四个数，条件逐一增多，使学生体会到有的条件具有局限性，有的条件具有特定范畴，促使学生在应用所学知识时应该学会根据不同情境去判断、取舍和分析。

这次的复习是基于学生对知识的理解水平，本着尊重学生的原则，以学生为主体，先学后教，抓住重点、难点，设计有层次的习题，引导学生自己动手整理知识结构，把所学知识系统化、条理化，使学生对所学知识能牢固掌握。设计有层次的习题，举一反三，调动学生的学习积极性。不求习题的多样繁杂，但求激活每个学生的思维，引导学生在自学中学会发现、在倾听中学会理解、在讨论中学会思辨。

十堰外国语学校   李俊