问题意识引领下，培养数学思维——“植树问题”案例分析
案例背景 ：植树问题是人教版五年级上册数学广角的教学内容，教材将植树问题分为三个层次：两端都栽、只栽一端、两端都不栽、环形情况以及方阵问题等。其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。
新课程要求：教学中要关注学生的学习过程，注重学生的学习体验，还要充分发挥学生的的主体地位，让他们通过动脑、动手、合作交流，经历分析、思考、解决问题的过程。本节课正是在这一理念的基础上进行设计的，通过让学生自主体会“植树问题”这一重要的数学思想方法是这节课的教学目标之一。
案例描述
一、初步感知间隔的含义
1、肢体体验：同学们都有一双灵巧的小手，它不但能写字、画画、干活，还蕴藏着有趣的数学知识，你想知道吗？请举起你的左手，五指伸直、张开、摸一摸，数一数，五个手指有几个空？
师：在数学上，我们把两个物体之间的这个空叫“间隔”。 五个手指之间有几个间隔，4个手指间呢？
师：生活中的“间隔”处处可见，你知道生活中还有哪些吗？
师：同学们真注意观察。老师也找了一些，我们一起看看。
师：课件展示，仔细观察这四幅图你发现他们有什么共同特征？
师：人数、盆数、杆数、面数在数学中我们都称为棵树。两棵之间的距离叫间距。间隔的个数叫间隔数。（边说边板书）
【评析：数学概念是抽象的、严谨的、系统的，而小学生的心理特点则是容易理解和接受具体的、直观的感性知识。因此，在教学开始我提供了丰富、典型、全面的植树问题，通过观察感知，初步使学生数学与生活之间搭建起联系的桥梁。】
二、引入课题：
师：间隔数与棵数的关系，数学里统称植树问题，这就是我们今天要探究的 “植树问题”。（ 揭题，板书：植树问题）
三、充分经历，探究新知。
（一）、理解题意，明确题意。
师出示：在一条小路的一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树？
1、齐读，边读边想，条件、问题各是什么？
2、你认为哪个是关键词？（直尺演示）
3、对于题意，你有什么疑问？
生：缺少一个条件不知道路有多长？
师：我们补上。20米，30米，40米。
师：你还有什么疑问？
生：不知道怎么植。
师：你提的问题特别好，谁来说说不知道怎么植是什么意思？
师：你能用学具摆一摆吗？（黑板上摆小棒）
师：板书（两端都植、一端植一端不植、两段都不植）
师：今天我们研究两端都植。（题目补充完整）
[设计意图：通过题目的理解，发现缺少路的总长，从而引发思考。这条路到底有多长，为下面探究做好铺垫]
（二）借助操作，探究规律。
师：一共需要多少棵树？不直观，我们可以借助什么来探究呢？（不好理解时我们可以借引导学生用画线段图的方法进行验证）
操作要求；
（1）想一想：你打算怎么画？
（2）说一说：把你的想法在小组内说一说？
（3）画一画：边画边想，为什么这样画？
（4）算一算：列式计算，一共植了多少棵树？
（5）一二三组的同学，分别研究20米、30米、40米。
分两种情况：1、如果在理解题意时有学生明确植树方法，可以直接操作。
2、如果在理解题意时学生没有明确植树方法时，可以汇报时产生认知冲突。
师：你是怎么画的，为什么这样画？每个算式表示的是什么？
[评析:通过想一想、画一画、说一说、算一算一系列的活动，充分体现了学生的自主探究性，培养了学生概括、自学学习和合作学习能力。通过小组合作把植树问题的三种可能性展示，适合学生的认知过程]
（三）归纳概括，理解规律。
师：仔细观察，虽然这三位同学选取的长度不一样，棵树也不一样，但他们所画的线段图，特别是他们分析和思考的方法有什么相同点？（都是先求什么？再求什么）你发现了什么？
两端都栽：棵数=间隔数+1
[评析:独立思考，集体展示，在不同的方法和思考顺序中，寻求相同点，从而更好的培养学生的思维能力和问题意识。]
（四）及时巩固，强化规律。
师：同学们都明白了两段都栽的情况下树的棵树与间隔数之间的关系，老师出几道题考考大家。两端都栽，7个间隔种几棵树？20个间隔种几棵树，9棵树有几个间隔？20棵树之间有几个间隔？
（五）运用规律，归纳思想。
师：如果在一条长100米的小路的一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵？（两端都植）
生：100÷5=20（个）20+1=21（棵）
师：你是怎么这么快就知道的。
生：因为两端都植时，棵树=间隔数+1，所以一共植了21棵。
师：同学们说的很好。我们是根据结论知道的。我们一起回顾是怎么知道结论的呢？先从简单情况20米、30米、40米，进行研究。得到结论，从而根据结论我们可以解决大数据的问题。这种方法在数学中叫化繁为简的思想。在我们生活中经常遇到。
师，两端都种的情况下，棵数为什么会比间隔数多1呢？我们一起来看一看？ 这个1多在哪了？你能到图中指一指吗？
师：我们通过，动手操作发现规律、化繁为简的思想验证了规律、从而得到结论，建立了两端都植的数学模型。回忆我们在学习什么知识时利用化繁为简的思想，得到结论的。（鸡兔同笼。一个数除以大于一的数，0除外，商比原数小。）希望同学们在以后的学习中，能利用这种思想方法，发现更多的规律。
三、应用规律，走进生活。
师：利用这些规律，解决实际问题。
1、5路公共汽车行驶路线全长12km ，相邻两站之间的路程都是1km。 一共设有多少个车站？
2、在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
3、园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
4、马路一边栽了25棵梧桐树，如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要载多少棵银杏树？
四、今天你有什么收获。
三、案例分析
新课程标准指出：数学教学活动必须是学生积极参与教学活动的过程，通过独立思考，合作交流，自主探索，逐步形成数学基本活动经验。数学活动经验的积累是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。因此在实际教学中要注重结合具体的学习内容，创设情境，设计有效的数学探究活动，让学生经历数学的发生发展的过程，这是学生积累数学活动经验的最重要途径。
（一）在经历数学活动中感受、体验、领悟、获得并积累数学知识，形成基本数学活动经验。
新课标制指出，数学经验来源于生活和活动中，数学基本活动经验要在数学教学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、观察思考，从感性向理性飞跃时形成的。要让学生参与数学知识形成，并自主探索、总结出数学活动经验，这是积累数学基本活动经验的最有效方法。本案例我在日常生活中体会植树问题的广泛性和实用性从而推导出植树问题的计算方法”的过程，目的让学生经历合作、操作、观察、交流等活动培训丰富的数学基本活动经验，从而进一步归纳抽象出“两端都植棵树和间隔数之间的关系”的活动经验，使知识系统化，有助于学生有效积累各种经验。对于推导的过程，学生用自己的语言来表达，让他们具备从表象到抽象的这样数学学习经验。在经历数学活动中感受、体验、领悟、获得并积累数学知识，形成全面的基本数学活动经验。
（二）自主学习、合作探究中学会学习。
新课标指出：教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力。本节课通过学生画一画、想一想、说一说、议一议等活动概括出植树问题的三种情况。
四、案例反思：
本节课的内容主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方针，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，通常把这类问题统称为植树问题。
成功之处：
1.利用例1题目，渗透研究植树问题的思想方法：复杂问题——简单问题——发现规律——解决问题。让学生经历探索复杂问题的过程，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，掌握研究问题的思想方法，渗透“化繁为简”的数学思想方法，尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻找解决问题的策略。教学中启发学生利用在 10米、15米、20米的小路一侧栽树，通过画线段图借助图形让学生体会当两端都栽、两端都不栽、只栽一端，棵数与间隔数之间的关系，从而发现植树问题不同情况的数学模型，进而解决例1的问题，学生也就能快速解决问题了，并且能够做到不仅知其然，还知其所以然。
2.渗透了一一对应的数学思想方法。通过线段图的理解，学生发现了植树问题的不同情况的数学模型。为了更深入理解这一数学模型隐含的数学思想方法，让学生观察线段图，一棵树对应一个间隔，当两端都栽时，发现最后一棵树没有对应的间隔，所以棵数=间隔数+1；当两端都不栽时，发现最后一个间隔没有对应的棵数，所以棵数=间隔数-1；当只栽一端时，发现最后一棵数对应最后一个间隔，所以棵数=间隔数
不足之处： 由于归纳总结了三种类型的植树问题，导致练习只做了一题，学生没有及时的进行巩固，知识夯实不够充分。
十堰外国语学校 陈淑梅
